MANIFOLD DESTINY – Part 1-3

Câu chuyện về bài toán huyền thoại và
cuộc tranh chấp về việc ai là người đã thực sự giải được nó
(SYLVIA NASAR và DAVID GRUBER)

1. Vào buổi tối ngày 20 tháng Sáu, hàng trăm vật lý gia, gồm cả một vị đọat giải Nobel, tề tựu tại một thính phòng cùa Khách sạn Hữu Nghi, Bắc Kinh, để nghe bài thuyết trình của Shing-Tung Yau, nhà toán học Trung Quốc. Vào cuối những năm 1970, trong độ tuổi 20, Yau đã có những phát kiến đột phá, góp phần mở ra cuộc cách mạng của Lý thuyết Dây (string-theory) trong Vật lý. Những đóng góp này đã mang lại cho Yau huy chương Fields – giải thưởng đáng mong muốn nhất trong Toán học – và, bên cạnh đó, uy tín của một chuyên gia với kỹ năng giải toán có một không hai.

 Yau trở thành Giáo sư Toán tại Đại học Havard đồng thời kiêm nhiệm chức Viện trưởng Viện Toán tại Bắc Kinh và Hồng Kông. Bài giảng của Yau tại Khách sạn Hữu Nghị nằm trong chương trình của một Hội thảo khoa học Quốc tế về Lý thuyết Dây, do chính Yan tổ chức, với sự hỗ trợ của Chính phủ Trung Quốc, một phần nhằm cổ vũ cho những khám phá mới gần đây trong lĩnh vực Vật lý lý thuyết của nước nhà. (Hơn 6000 sinh viên đã đến nghe bài giảng chính của Hội thảo do người bạn thân của Yau, Stephan Hawking, trình bày tại Đại Lễ Đường Nhân Dân). Có ít người trong cử tọa hiểu rõ về chủ đề bài thuyết trình của Yau: Giả thuyết Poincaré, một vấn đề hóc búa, được đưa ra cách đây một thế kỷ, liên quan đến đặc tính của những khối cầu 3 chiều(three-dimensional spheres). Giả thuyết Poincaré được các nhà toán học coi là “Chén Thánh” (Holy Grail), bởi tầm quan trọng của nó trong Toán học và Vũ trụ học; và cũng bởi vì mọi nỗ lực trong việc tìm lời giải cho nó từ trước đến nay đều bất thành.
Yau, một người đàn ông chắc nịch 57 tuổi, đứng trên bục giảng, tay bỏ trong túi quần, giản dị với cặp kính gọng đen, diễn giải với cử tọa bài chứng minh Giả thuyết Poincaré do hai học trò của mình, Xi-Ping Zhu và Huai-Dong Cao, hoàn thành cách đấy vài tuần. “Tôi rất lạc quan về công trình của Zhu và Cao”, Yau nói, “Các nhà toán học Trung Quốc hoàn toàn có lý do để tự hào về thành quả lớn lao trong việc giải quyết triệt để vấn đề nan giải này”. Yan nói rằng Zhu và Cao phải cảm ơn nhà Toán học Mỹ Richard Hamilton, người đã cộng tác với Yan từ lâu, cũng là người đáng có được nhiều công trạng nhất trong việc giải quyết Giả thuyết Poincaré. Yau cũng đề cập đến Grigory Perelman, một nhà toán học Nga, người mà Yan thừa nhận là có đóng góp quan trọng. Tuy nhiêu, Yau nói, “trong công trình ngoạn mục của Perelman, rất nhiều ý tưởng then chốt của bài chứng minh chỉ được phác thảo và tóm tắt sơ lược, và thường thiếu nhiều chi tiết trọn vẹn”. Yau cũng thêm rằng: “Chúng tôi mong muốn nghe những bàn luận của Perelman. Nhưng hiện tại Perelman đang ở St. Petersburg và từ chối giao tiếp với mọi người.”
Trong 90 phút, Yau bàn luận về những chi tiết chuyên môn trong bài chứng minh của các học trò. Khi ông kết thúc, không ai đưa ra câu hỏi nào. Thế nhưng, đêm đó, một nhà Vật lý Bra-xin đã viết về bài thuyết trình của Yau trong nhật ký mạng (blog) của mình như sau: “Có lẽ chẳng bao lâu nữa, Trung Quốc sẽ dẫn đầu cả trong Toán học.”
2. Grigory Perelman quả là một người cô độc. Anh đã bỏ công việc nghiên cứu của mình tại Viện Toán Steklov, St. Petersburg vào tháng 12 năm ngoái. Anh có ít bạn bè, và sống với mẹ trong một chung cư ở ngoại ô thành phố. Dù trước đây chưa khi nào đồng ý phỏng vấn, nhưng khi chúng tôi viếng thăm anh, Perelman có thái độ cư xử thân mật và chân thành. Anh đưa chúng tôi đi dạo khắp thành phố. “Tôi đang kiếm một vài người bạn, và họ không cần phải là những nhà toán học,” anh nói. Trong tuần ngay trước Hội thảo của Yau, Perelman đã dành ra nhiều thời gian để thảo luận về Giả thuyết Poincare với Ngài John M. Ball, vị chủ tịch 58 tuổi của Hiệp hội Toán học thế giới (International Mathematical Union, I.M.U), là một tổ chức có ảnh hưởng lớn trong lĩnh vực Toán học. Buổi gặp gỡ, tại một trung tâm Hội nghị nằm trong một lâu đài uy nghiêm nhìn ra sông Neva, diễn ra hết sức khác thường. Vào cuối tháng Năm, một hội đồng gồm 9 nhà toán học lỗi lạc đã nhất trí chọn Perelman là người được nhận huy chương Fields với công trình của anh về Giả thuyết Poincare; và Chủ tịch Ball đã đến St. Petersburg thuyết phục Perelman đến nhận giải thưởng trong lễ trao giải công khai tại Đại hội của Hiệp hội Toán học thế giới (tổ chức 1 lần mỗi 4 năm) vào ngày 22 tháng Tám tại Madrid.
Huy chương Fields, cũng như Giải thưởng Nobel, được đặt ra, phần nào, với mong mỏi đưa khoa học vượt quá những thù nghịch giữa các quốc gia. Trong kỳ Đại hội lần đầu tiên của I.M.U., diễn ra năm 1924, không có nhà toán học Đức nào được tham gia, và cho dù việc cấm này đã bị bỏ trước kỳ Đại hội tiếp theo, những tổn thương nó gây ra đã đưa đến việc đặt ra Giải thưởng Fields với tiêu chí “Hoàn toàn khách quan và mang tính quốc tế đến mức tối đa” (“as purely international and impersonal as possible.”)
Tuy vậy, Huy chương Fields, được trao tặng 4 năm một lần cho từ 2 đến 4 nhà toán học, không chỉ để tôn vinh những thành quả trong quá khứ, mà còn có mục đích khuyến khích các nghiên cứu trong tương lai. Bởi vậy, chỉ những nhà toán học trẻ hơn 40 tuổi được nhận Huy chương danh giá này. Trong những thập kỷ gần đây, khi số lượng các nhà toán học chuyên nghiệp càng ngày càng nhiều hơn, Huy chương Fields càng trở nên có uy tín. Trong gần 70 năm, chỉ có 44 huy chương được trao tặng, trong đó có 3 huy chương dành cho các công trình liên quan mật thiết với Giả thuyết Poincaré, và không có nhà toán học nào từ chối giải thưởng. Thế nhưng, trong buổi gặp gỡ kể trên, Perelman đã nói với Ball rằng anh không có ý định nhận giải thưởng này. “Tôi từ chối,” anh nói một cách đơn giản.
Trong vòng 8 tháng kể từ tháng Mười Một năm 2002, Perelman đã đăng bài chứng minh Giả thuyết Poincaré của mình – gồm 3 phần – lên mạng Internet. Cũng giống như một bản xo-nê hay aria, một chứng minh toán học mang một hình thức riêng biệt trong một chỉnh thể các quy ước. Nó được bắt đầu với những tiên đề, hoặc các chân lý được công nhận, và sử dụng một loạt các dẫn giải lô-gích để đưa ra kết luận cuối cùng. Nếu những dẫn giải lô-gích được cho là chặt chẽ, không bác bỏ được, thì kết quả cuối cùng trở thành định đề. Không giống như các chứng minh trong Luật hay Khoa học, vì chủ yếu dựa vào các dấu hiệu và chứng cứ, nên luôn bị thẩm tra và sửa lại, một chứng minh của một định đề toán học mang tính tuyệt đối (definitive). Những phán xét về sự chính xác của một bài chứng minh được đưa ra bởi các tạp chí peer-reviewed (phê bình một cách cẩn thận). Để đảm bảo công bằng, chủ bút của tạp chí thường hết sức kỹ lưỡng trong việc chọn những người phê bình cho bài báo, và tính danh của tác giả bài báo được giữ bí mật. Nếu được xuất bản, bài chứng minh được coi là hoàn hảo, chính xác và đầy sáng tạo mới mẻ (original).
Theo những tiêu chuẩn này, bài chứng minh của Perelman là không chính quy. Nó ngắn gọn một cách đáng kinh ngạc so với tầm vóc của một công trình có nhiều tham vọng như vậy; các diễn giải lô-gích, lẽ ra có thể phải được khai triển một cách chi tiết qua nhiều trang, thường bị cô đọng lại đến tối đa. Thêm vào đó, bài chứng minh không hề đề cập trực tiếp đến Giả thuyết Poincaré, và nó đưa ra nhiều kết quả đẹp mắt nhưng không liên quan đến đối tượng bàn luận trọng tâm. Tuy vậy, trong vòng bốn năm sau đó, ít nhất 2 nhóm các chuyên gia đã kiểm nghiệm bài chứng minh của Perelman và họ không tìm thấy bât cứ kẽ hở hay sai sót đáng kể nào. Cộng đồng các nhà Toán học nhất trí công nhận sự kiện: Perelman đã đưa ra lời giải cho Giả thuyết Poincaré. Thế nhưng, bởi sự phức tạp của nó – và bởi cách Perelman đã làm quá tắt (use of shorthand) khi đưa ra những dẫn giải quan trọng nhất – bài chứng minh trở nên dễ bị phản biện. Chỉ có một vài nhà toán học đủ trình độ chuyên môn để đánh giá và bảo vệ nó.
Sau khi qua Mỹ thực hiện một loạt bài thuyết trình về chứng minh của mình trong năm 2003, Perelman trở về St. Petersburg. Kể từ đó, mặc dù vẫn tiếp tục trả lời các thắc mắc về bài chứng minh qua e-mail, anh giữ liên lạc ở mức tối thiểu với các đồng nghiệp, và bởi những lý do nào đó không ai hiểu được, Perelman không hề có ý muốn xuất bản bài chứng minh của mình. Mặc dù vậy, ít ai nghi ngờ việc Perelman, tròn 40 vào ngày 13 tháng Sáu, xứng đáng được nhận một Huy chương Fields. Khi Ball lên kế hoạch cho Đại Hội I.M.U. 2006, ông nhận thức được rằng đây sẽ là một sự kiện lịch sử. Hơn 3000 toán học gia sẽ tham dự Đại hội, và Vua Juan Carlos của Tây Ban Nha đã đồng ý chủ trì buổi lễ trao giải. Bản tin của I.M.U. đã dự đoán rằng Đại hội này sẽ được ghi nhớ là “một sự kiện đánh dấu việc Giả thuyết Poincaré trở thành định đề.” Để chắc chắn rằng Perelman sẽ có mặt tại Đại hội, Chủ tịch Ball quyết định đến St. Petersburg.
Ball không muốn ai biết về chuyến viếng thăm của mình – bởi lẽ danh tính những người được trao tặng Huy chương Fields sẽ chỉ được chính thức công bố tại Lễ trao giải – và trung tâm Hội thảo, nơi ông gặp Perelman, là một chỗ vắng vẻ. Trong 10 tiếng đồng hồ, qua 2 ngày, Ball đã cố thuyết phục Perelman đồng ý nhận giải thưởng. Perelman – một người đàn ông mảnh khảnh, hói đầu với bộ râu quai nón và lông mày rậm, và đôi mắt xanh lơ – lắng nghe Ball một cách lịch sự. Đã 3 năm không sử dụng tiếng Anh, Perelman vẫn đủ khéo léo từ chối lời thỉnh cầu nồng nhiệt của Ball. Anh cũng mời Ball chia xẻ một trong những công việc ưa thích của mình: đi dạo một quãng đường dài. Hai tuần sau, Perelman tóm tắt lại cuộc đàm thoại với Ball như sau: “Ông ấy đưa ra 3 phương án: đồng ý nhận giải và tham gia Đại hội; đồng ý nhận giải nhưng không tham gia Đại hội, và chúng tôi sẽ gửi tấm Huy chương cho anh sau; và phương án thứ 3: không đồng ý nhận giải thưởng. Ngay từ đầu, tôi đã nói với ông ấy là tôi đã chọn phương án thứ 3.” Perelman giải thích rằng anh không quan tâm đến Huy chương Fields. “Nó hoàn toàn không thích hợp với tôi,” anh nói. “Một khi tất cả mọi người đều hiểu rằng bài chứng minh của tôi là chính xác, thì cần gì phải có một sự thừa nhận nào khác.”
3. Kể từ khi được Henri Poincaré xác lập hơn một trăm năm trước, gần như năm nào người ta cũng công bố các lời giải của Giả thuyết Poincaré. Poincaré là cháu của Raymond Poincaré, Tổng thống Pháp thời Thế chiến I, và là một trong những nhà toán học sáng tạo nhất của thế kỷ 19. Dáng mảnh dẻ, mắc chứng cận thị, và nổi tiếng là đãng trí, ông đã bài toán nổi tiếng của mình vào năm 1904, tám năm trước khi ông qua đời, và đã bao gồm nó như một câu hỏi phụ vào cuối một bài viết dài 65 trang. 
Chính bản thân Poincaré cũng đã không giải quyết được nhiều trong việc chứng minh giả thuyết này. Ông viết, “Cette question nous entraînerait trop loin” (“Câu hỏi này sẽ đưa chúng ta đi quá xa”). Ông là người sáng lập ra môn hình học topo , hay còn được biết đến dưới tên "môn hình học tấm cao su", do trọng tâm của ngành là những đặc tính nội tại của không gian. Từ góc nhìn của một nhà hình học topo thì không có sự khác biệt giữa một cái bánh bagel và một cốc cà phê có quai cầm. Cả hai thứ này đều có một cái lỗ và có thể được biến đổi sao cho cái này trở nên giống cái kia mà không cần phải cắt hay xé. Poincaré sử dụng khái niệm "manifold" (đa dạng) để miêu tả một không gian topo trừu tượng như vậy. Một manifold hai chiều đơn giản nhất có thể có là bề mặt của một quả bóng đá mà đối với một nhà hình học topo thì vẫn là một hình cầu ngay cả khi nó đã bị dẫm bẹp, kéo căng, hay xoắn gập. Bằng chứng rằng một vật thể như vậy là một lưỡng cầu tạm gọi, do nó có thể mang bất kể hình thù gì, là do nó "đơn giản là được kết nối", có nghĩa là không có lỗ chọc thủng nó. Không giống như một quả bóng đá, một cái bánh bagel không phải là một hình cầu thực sự. Nếu bạn buộc một nút thòng lọng (slipknot) vào một quả bóng đá, bạn có thể dễ dàng thắt nút trượt trên bề mặt của quả bóng. Nhưng nếu bạn buộc dây thòng lọng quanh một cái bánh bagel xuyên qua cái lỗ ở giữa thì bạn không thể thắt chặt nút mà không xé toạc cái bánh ra.  

Tới giữa thế kỷ 19 người ta đã hiểu rõ về những manifold hai chiều. Nhưng những gì đúng cho hai chiều có đúng cho ba chiều không lại là điều người ta chưa rõ. Poincaré đưa ra giả thuyết rằng tất cả những manifold 3 chiều, đóng, kết nối đơn giản, những cái không có lỗ và hữu hạn thì đều là khối cầu. Giả thuyết này quan trọng tiềm năng cho những nhà khoa học nghiên cứu manifold lớn nhất được biết là vũ trụ. Tuy vậy, chứng minh giả thuyết này bằng toán học hoàn toàn không dễ. Phần lớn các cố gắng đều kết thúc tồi, nhưng một vài nỗ lực cũng đã dẫn đến những phát kiến toán học quan trọng bao gồm các lời giải Bổ đề Dehn (Dehn’s Lemma), Định đề Khối cầu (Sphere Theorem), và Định đề Thòng lọng (Loop Theorem).
Đến khoảng những năm 1960, hình học topo đã trở nên một trong những lĩnh vực năng suất cao nhất của toán học, và các nhà hình học topo trẻ liên tục tấn công Giả thuyết Poincaré. Điều làm cho đa số các nhà toán học phải ngạc nhiên là phát hiện rằng các manifold 4, 5, và nhiều chiều hơn có thể được chứng thực dễ dàng hơn là những manifold 3 chiều. Đến năm 1982, giả thuyết của Poincaré đã được chứng minh trong mọi chiều ngoại trừ chiều thứ 3. Vào năm 2000, Viện Toán Clay, một quỹ tư nhân hỗ trợ nghiên cứu toán học, đã gọi Giả thuyết Poincaré là một trong 7 bài toán chưa giải quan trọng nhất trong toán học và đã đưa ra giải thưởng một triệu đô la cho bất kỳ ai có thể chứng minh được nó.
“Cả đời làm toán của tôi bị giả thuyết Poincaré chiếm dụng,”, John Morgan, trưởng khoa toán đại học Columbia nói, “Tôi chẳng bao giờ nghĩ là sẽ có lúc tôi được nhìn thấy một lời giải. Tôi cứ nghĩ chẳng ai có thể động được đến nó.”

Advertisements

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: