MANIFOLD DESTINY – Part 6-8

6. Grigory Perelman, khi ấy, đã học tập Hamilton rồi. Năm 1993, anh bẳt đầu 2 năm nghiên cứu tại Berkeley. Trong thời gian này, Hamilton có đến đây giảng bài vài lần, và trong một buổi, ông có đề cập đến việc ông đang nghiên cứu giải quyết Giả thuyết Poincaré. Phương án giải quyết vấn đề của Hamilton, thông qua việc sử dụng dòng Ricci, vô cùng phức tạp và khó khăn về mặt chuyên môn. Sau một buổi nói chuyện, Hamilton kể với Perelman về chướng ngại lớn nhất của mình. Khi một không gian bị làm phẳng bởi dòng Ricci (is smoothed under the Ricci flow), có một vài vùng trong nó bị biến dạng thành – các nhà toán học thường gọi chúng là – các “vùng kỳ dị” (singularities). Một vài vùng – có tên gọi là “cái cổ” (necks)– trở thành những “vùng loãng” với mật độ vô hạn (attenuated areas of infinite density). Khó khăn hơn nữa đối với Hamilton, là những vùng kỳ dị được ông đặt tên là “xì-gà”. Nếu các vùng “xì-gà” này được tạo thành, Hamilton e rằng khi đó không thể có được dạng hình đồng nhất. Perelman nhận ra rằng một bài báo viết về không gian Alexandrov của anh sẽ trở nên hữu dụng cho Hamilton trong việc chứng minh Giả thuyết Thurston – và tất nhiên là cả Giả thuyết Poincaré – nếu như Hamilton giải quyết được bài toán của “các điếu xì-gà.” “Một lúc nào đó trong buổi nói chuyện, tôi đã hỏi Hamilton rằng ông ấy có biết về một kết quả về sự gãy gập (collapsing result) – theo tôi là rất hữu ích cho việc giải quyết vấn đề của ông ấy – mà tôi đã chứng minh được nhưng chưa đăng báo, không?” Perelman kể. “Nhưng sau đó, tôi nhận ra rằng ông ấy đã không hiểu tôi muốn nói về cái gì.” Dan Strook tại MIT nói rằng “Perelman dường như đã học hỏi một vài điều từ Hamilton và Yau, nhưng, cùng lúc đó, Hamilton và Yau đã không học hỏi gì từ Perelman cả.”
Vào cuối năm đầu tiên tại Berkeley, Perelman viết một vài bài báo với những ý tưởng mới rất đáng chú ý. Anh được mời thuyết trình tại Đại hội IMU tổ chức tại Zurich năm 1994, và cũng nhận được những lời mời đến làm việc từ các Đại học Stanford, Princeton, Viện Nghiên cứu Cao cấp, và Đại học Tel Aviv. Cũng giống như Yau, Perelman có kỹ năng giải toán kiệt xuất. Thay vì dành hàng năm trời cho việc xây dựng một khung lý thuyết phức tạp, hay là xác lập những lĩnh vực nghiên cứu mới, anh tập trung vào việc tìm ra những kết quả đặc thù. Theo lời của Mikhail Gromov, một nhà hình học Nga nổi tiếng đã có thời gian cộng tác cùng Perelman, anh đã cố gắng giải quyết một vấn đề chuyên môn liên quan đến không gian Alexandrov, và dường như đã rơi vào bế tắc. “Anh ta đã không thể giải quyết được,” Gromov kể. “Không có chút hy vọng nào.”
Perelman nói với chúng tôi rằng anh thích nghiên cứu nhiều vấn đề cùng một lúc. Thế nhưng, tại Berkeley anh thấy mình càng lúc càng quan tâm hơn đến phương trình dòng Ricci của Hamilton và vấn đề mà Hamilton cho rằng sẽ giải quyết được với phương trình này. Một vài người bạn của Perelman đã chú ý anh càng ngày càng sống khổ hạnh hơn. Những vị khách đến từ St. Petersburg lấy làm kinh ngạc về sự trống trải không đồ đạc của căn hộ của Perelman. Và việc Perelman dường như chỉ sống với một vài nguyên tắc cứng nhắc làm một số người khác lo lắng cho anh. Perelman đã tỏ ý không bằng lòng, khi một thành viên hội đồng tuyển dụng của Đại học Stanford đề nghị Perelman đính kèm một bản CV cùng với thư tiến cử. “Nếu họ biết công trình của tôi, họ không cần bản CV,” anh nói. “Nếu họ cần bản CV, có nghĩa là họ không biết công trình của tôi.”
Rốt cuộc, Perelman đã nhận được vài đề nghị việc làm, nhưng anh từ chối hết thảy, và vào mùa hè năm 1995, Perelman trở về St. Petersburg, tiếp tục công việc cũ của mình tại Viện Steklov, nơi anh nhận khoản lương ít hơn 100 đô-la mỗi tháng. (Anh nói với một người bạn rằng anh đã tích lũy đủ tiền để sống đến cuối đời trong thời gian ở Mỹ.) Khi đó, Bố anh đã quay về Israel hai năm trước, em gái anh cũng đã có kế hoạch đến ở cùng ông sau khi tốt nghiệp. Tuy vậy, Mẹ anh quyết định ở lại St. Petersburg và Perelman đến ở cùng với Mẹ. “Tôi nhận ra rằng ở Nga tôi có thể làm việc tốt hơn,” anh nói với các đồng nghiệp tại Viện Steklov như vậy.
Vào năm Perelman 29 tuổi, anh đã chính thức là một nhà toán học, và cũng không phải gánh vác nhiều trách nhiệm trong chuyên môn. Anh được tự do theo đuổi bất cứ vấn đề nào anh muốn, và anh hiểu rõ rằng một khi được đăng báo, thì chắc chắn công trình của mình sẽ nhận được những sự quan tâm hết sức nghiêm túc. Yakov Eliashberg, một nhà toán học Stanford quen biết với Perelman tại Bekerley, cho rằng anh trờ về Nga để nghiên cứu về Giả thuyết Poincaré. “Tại sao không?” Perelman trả lời khi chúng tôi hỏi anh về suy nghĩ của Eliashberg.
Với mạng Internet, Perelman đã có thể làm việc một mình, trong khi vẫn cập nhật được những kiến thức phổ biến. Anh tìm đọc các bài báo của Hamilton để tìm tòi các manh mối cho các ý tưởng của mình, và anh cũng thực hiện vài buổi thuyết trình về nghiên cứu của mình. “Anh ấy không cần bất cứ sự trợ giúp nào,” Gromov nói. Anh ấy thích được làm việc đơn độc. Anh ấy khiến tôi phải nhớ đến Newton – ám ảnh bởi một ý tưởng, tự nghiên cứu một mình, và không quan tâm đến ý kiến của những người khác. Newton thì khó chịu hơn, Perelman dễ chịu hơn. Nhưng anh ấy bị ám ảnh rất nhiều.”
Vào năm 1995, Hamilton đăng một bài báo trong đó ông bàn luận về một vài ý tưởng cho việc hoàn thiện bài chứng minh Giả thuyết Poincaré. Và sau khi đọc bài báo này, Perelman nhận ra rằng Hamilton không đạt được bất cứ một sự tiến triển nào trong việc giải quyết các khó khăn của mình – vấn đề các “cái cổ” và “điếu xì-gà”. “Tôi không thấy điều gì chứng tỏ ông ấy đạt được một sự tiến triển nào kể từ đầu năm 1992,” Perelman nói với chúng tôi. “Có thể ông ấy đã bế tắc từ trước đó nữa.” Thế nhưng, Perelman cho rằng mình đã tìm được một con đường ra khỏi ngõ cụt. Năm 1996, với hy vọng cùng cộng tác nghiên cứu, anh viết cho Hamilton một bức thư dài phác thảo những ý kiến của mình. “Ông ấy không trả lời,” Perelman nói. “Do vậy, tôi quyết định nghiên cứu một mình.”

7. Yau đã không biết rằng nghiên cứu của Hamilton đang bế tắc. Lúc này, mối quan tâm của Yau là vị thế của mình trong cộng đồng Tóan học, đặc biệt là tại Trung Quốc, nơi ông lo ngại rằng có một học giả trẻ tuổi sẽ hất cẳng ông mà chiếm lấy vai trò của một nhà toán học kế tục Chern. Dù ông vẫn thường xuyên có bài đăng tạp chí, nhưng hơn mười năm đã trôi qua kể từ khi Yau cho ra được một kết quả chứng minh quan trọng. “Yau muốn trở thành ông vua của nghành hình học,” Michael Anderson, một nhà hình học tại ĐH Stony Brook, nói. “Ông ta cho rằng mọi thứ phải được chính ông ta đưa ra, và ông ta phải là người kiểm soát mọi vấn đề. Ông ta cũng không muốn bị ai lấn sân.” Với quyết tâm giữ vững vị trí thống soái của mình trong nghành, Yau thúc ép các nghiên cứu sinh của mình giải quyết các vấn đề lớn. Tại ĐH Havard, Yau tổ chức các buổi seminar nổi tiếng là khắc nghiệt – 3 buổi một tuần, mỗi buổi 3 tiếng – về hình học vi phân (differential geometry). Mỗi nghiên cứu sinh được Yau giao cho một bài chứng minh vừa được đăng báo không lâu, với yêu cầu xây dựng lại lời giải, sửa lại những lỗi và kẽ hở suy luận trong bài. Yau cho rằng một nhà toán học phải hết sức dứt khoát và phải ghi dấu ấn trong đầu các sinh viên về tầm quan trọng của tính chính xác theo từng bước (step-by-step rigor).
Trong Toán học, có hai cách để có được một công trình đóng góp mang tính sáng tạo mới mẻ được công nhận. Cách thứ nhất là bạn đưa ra được một chứng minh mới mẻ. Cách thứ hai là xác định và giải quyết được những kẽ hở mang tính quyết định trong một chứng minh của tác giả khác. Tuy vậy, chỉ có những kẽ hở toán học thực sự: những dẫn giải sai lầm hay bị thiếu, có thể được coi là cơ sở cho sự sáng tạo mới mẻ. Còn việc làm rõ thêm các bước triển khai tắt hay rút gọn, để làm cho bài chứng minh trở nên rõ ràng hơn, thì không được coi là một đóng góp mới mẻ. Vào năm 1993, khi Andrew Wiles phát hiện ra một kẽ hở trong bài chứng minh định đề Fermat cuối cùng của mình, thì việc sửa lại lỗi này đã lại là một bài toán công bằng, mở cho tất cả mọi người, cho đến năm sau, chính Wiles là người sửa được nó. Trái lại, hầu hết các nhà toán học đồng ý rằng, nếu những bước diễn giải ngầm trong một bài chứng minh được một chuyên gia là cho rõ ràng hơn, thì đó chỉ là lỗi trong triển khai, và bài chứng minh vẫn phải được công nhận là chính xác và hoàn hảo.
Đôi lúc người ta khó có thể phân biệt được một kẽ hở về toán và một kẽ hở trong diễn giải. Trong ít nhất một bận, Yau và các đệ tử của mình đã tỏ ra nhầm lẫn giữa hai điểm này và đưa ra tuyên bố tác quyền mà các nhà toán học khác cho là chưa thỏa đáng. Năm 1996, một nhà hình học trẻ ở đại học Berkeley tên là Alexander Givental đã chứng minh được một giả thuyết toán học về đối xứng gương, một khái niệm căn bản trong lý thuyết dây. Mặc dù những nhà toán học khác thấy lời giải của Givental là khá rối rắm, nhưng họ vẫn lạc quan tin rằng anh đã giải được bài toán này. Như một nhà toán học đã nói, “Lúc đó không có ai nói rằng lời giải này sai hay thiếu cả.”
Vào mùa hè năm 1997, Kefeng Liu, một học trò cũ của Yau đang dạy ở trường Stanford, đã có một buổi thảo luận về đối xứng gương ở trường Harvard. Theo lời của hai nhà hình học có mặt trong số khán giả, Liu đã đưa ra một lời giải giống một cách đáng kinh ngạc với lời giải của Givental, và nói đó là một bài báo mà anh ta đã viết chung với Yau và một học trò khác của Yau. “Liu có đề cập đến Givental, nhưng chỉ với vai trò như một người khác trong một danh sách dài những người có cống hiến cho lĩnh vực,” một nhà hình học khác nói. (Liu luôn giữ vững lập trường rằng lời giải của anh ta rất khác với lời giải của Givental.)
Vào cùng khoảng thời gian này, Givental nhận được một email do Yau và các cộng sự của ông ta ký giải thích rằng họ đã thấy không thể nào mà hiểu được những lập luận của anh ấy cũng như cách ký hiệu của anh khá lung tung, và tự họ đã đưa ra một lời giải của riêng họ. Họ khen Givental về "ý tưởng rất thông minh” của anh ấy và viết, “Trong bản cuối cùng của bài viết của chúng tôi, cống hiến quan trọng của anh sẽ được công nhận.”
Một vài tuần sau đó, bài báo, “Nguyên tắc Gương I,” đã xuất hiện trên Tạp chí Toán học Châu Á, một tạp chí do Yau đồng biên tập. Trong bài báo này, Yau và các đồng tác giả đã miêu tả các kết quả của họ là “lời giải hoàn chỉnh đầu tiên” của giả thuyết gương. Họ chỉ nhắc qua đến công trình của Givental. “Thật không may,” họ viết, lời giải của anh ấy, “dù đã được đọc bởi nhiều chuyên gia xuất sắc, vẫn chưa hoàn chỉnh.” Tuy nhiên, họ không chỉ ra một sự thiếu hụt toán học nào cụ thể.
Givental ngạc nhiên quá lắm. “Tôi muốn biết xem họ phản đối về cái gì,” anh ấy nói với chúng tôi. “Chẳng phải là để phát giác họ hay để tự bảo vệ tôi.” Vào tháng 3 năm 1998, anh ấy đã xuất bản một bài báo trong đó có một phụ chú dài 3 trang trong đó anh chỉ ra một số điểm giống nhau giữa lời giải của Yau và lời giải của anh. Một vài tháng sau, một nhà toán học trẻ ở đại học Chicago đã được các đồng nghiệp lớn tuổi hơn yêu cầu điều tra vụ tranh chấp này đã kết luận là lời giải của Givental là hoàn chỉnh. Yau nói rằng ông ta đã nghiên cứu lời giải trong nhiều năm với các học trò của ông ta và rằng họ đã đạt được kết quả một cách độc lập so với Givental. “Chúng tôi có những ý tưởng của riêng chúng tôi, và chúng tôi đã viết các ý tưởng đó ra,” ông ta nói.
Cũng vào khoảng thời gian này, Yau có một vụ va chạm lớn đầu tiên với Chern và ngành toán Trung Quốc. Trong nhiều năm, Chern đã hy vọng có thể mang đại học của Hiệp hội Toán Quốc tế (IMU) tới Bắc Kinh. Theo lời của một số nhà toán học tham gia nhiều họat động trong IMU vào lúc đó, Yau đã có một nỗ lực phút chót để yêu cầu đại hội diễn ra ở Hồng Kông. Nhưng ông ta đã không thành công trong việc thuyết phục được đủ số đồng nghiệp ủng hộ đề nghị của mình, và cuối cùng thì IMU đã quyết định tổ chức đại hội năm 2002 ở Bắc Kinh. (Yau đã chối là ông ấy đã gắng đưa đại hội về tổ chức ở Hồng Kông.) Trong số các đại biểu mà IMU đã chỉ định vào một nhóm có trách nhiệm lựa chọn những người sẽ phát biểu trong đại hội, có một trong những học trò thành đạt nhất của Yau là Gang Tian, người đã từng ở NYU với Perelman, và bây giờ là một giáo sư ở MIT. Hội đồng tổ chức chủ nhà ở Bắc Kinh cũng đã đề nghị Tian phát biểu trong ngày khai mạc đại hội.
Yau đã rất bất ngờ vì điều này. Vào tháng Ba năm 2000 ông ta đã xuất bản một điều nghiên về tình hình nghiên cứu mới đây trong lĩnh vực của ông ta mà trong đó có đầy những lời nhắc hoành tráng đến Tian và những dự án chung của hai người. Yau trả đũa bằng cách tổ chức hội nghị đầu tiên của ông ta về lý thuyết dây, khai mạc ở Bắc Kinh chỉ một vài ngày trước khi đại hội toán học khai mạc, vào cuối tháng 8 năm 2002. Ông ta đã thuyết phục Stephen Hawking và một số nhà khoa học được giải Nobel khác tham dự, và trong nhiều ngày các tờ báo Trung Quốc đăng đầy ảnh của các nhà khoa học nổi tiếng. Yau còn kiếm cách để cho nhóm của ông ta được gặp với Giang Trạch Dân. Một nhà toán học giúp tổ chức đại hội toán đã nhớ lại rằng dọc xa lộ nối Bắc Kinh với sân bay có “biển quảng cáo với ảnh của Stephen Hawking trưng khắp mọi nơi.”
Mùa hè đó, Yau không nghĩ nhiều về Giả thuyết Poincaré. Ông ta đặt niềm tin vào Hamilton, mặc dù bước tiến của ông này chậm chạp. “Hamilton là một người bạn tốt,” Yau nói với chúng tôi như thế ở Bắc Kinh. “Anh ấy với tôi còn hơn cả là bạn. Anh ấy là anh hùng. Anh ấy đúng là một mình một kiểu. Chúng tôi đang hợp tác để hoàn thành lời giải của chúng tôi. Hamilton đã nghiên cứu vấn đề này trong 25 năm. Anh làm việc thì anh sẽ mệt. Có lẽ ông ấy hơi mệt tí – và ông ấy muốn nghỉ ngơi chút ít.”
Thế rồi vào ngày 12 tháng 11 năm 2002, Yau nhận được một email từ một nhà toán học Nga mà tên người này ông không nhớ được ra ngay. “Tôi xin được ông lưu ý về bài viết của tôi,” email này viết.
8. Vào ngày 11 tháng 11, Perelman đã đăng một bài viết dài 39 trang với tên gọi “Công thức entropy cho dòng Ricci và các ứng dụng hình học của nó,” (“The Entropy Formula for the Ricci Flow and Its Geometric Applications”) lên trang Xiv.org, một trang web mà các nhà toán học thường đăng các bài báo sắp được đăng của mình – những bài báo chờ được đăng trong những tạp chí đề cử. Anh đã gửi qua email một đoạn tóm tắc bài viết của mình tới khoảng một tá các nhà toán học ở Hoa Kỳ – bao gồm cả Hamilton, Tian, và Yau – không ai trong số họ đã có liên hệ gì với anh trong nhiều năm. Trong phần tóm luận, anh đã giải thích rằng anh đã viết “một phác học của một lời giải bách hóa tổng hợp” của giả thuyết hình hóa.
Perelman đã không đề cập đến hay cho bất kỳ ai xem lời giải. “Tôi không có bạn với người ta tôi có thể thảo luận việc này,” anh ấy nói ở St. Petersburg. “Tôi không muốn thảo luận công trình của tôi với những người mà tôi không tin.” Andrew Wiles cũng đã giữ bí mật việc ông ấy đang cố gắng giải định lý cuối cùng của Fermat nhưng ông ấy có một đồng nghiệp giúp kiểm tra lời giải trước khi công bố nó. Perelman, bằng việc gửi lời giải của một trong những bài toán quan trọng nhất trong toán học một cách “xuề xòa" lên mạng Internet không chỉ đi ngược lại những thông lệ của giới hàn lâm mà còn chấp nhận đối đầu với rủi ro to lớn. Nếu như lời giải sai, anh ấy sẽ bị làm nhục ở công cộng, và cũng không có cách nào ngăn chặn một nhà toán học khác sửa chữa các lỗi sai rồi tuyên bố thắng cuộc. Nhưng Perelman nói là anh cũng không đặc biệt lo lắng. “Suy nghĩ của tôi là thế này: nếu tôi mắc lỗi và ai đó dùng kết quả của tôi để đưa ra một lời giải đúng thì tôi sẽ rất vui,” anh ấy nói. “Tôi chưa bao giờ bước chân ra đi chỉ để trở thành người duy nhất giải được Giả thuyết của Poincaré.”
Gang Tian đang ở trong văn phòng tại MIT khi anh ấy nhận được email của Perelman. Anh và Perelman nói chung đã thân thiện với nhau từ 1992, khi họ còn cùng ở NYU và thường tham gia những seminar toán hàng tuần ở Princeton. “Tôi nhận thức được tầm quan trọng của nó ngay lập tức,” Tian nói về bài viết của Perelman. Tian bắt đầu đọc bài báo và thảo luận với các đồng nghiệp, những người này cũng đều phấn chấn.
Vào ngày 19 tháng 11, Vitali Kapovitch, một nhà hình học, đã email cho Perelman:
Chào Grisha, xin lỗi phải làm phiền cậu nhưng nhiều người đang hỏi tớ về bản thảo của cậu “Công thức entropy cho dòng Ricci…” Không biết tôi hiểu có đúng không là mặc dù cậu chưa thể hoàn thành tất cả các bước trong chương trình Hamilton cậu đã có thể làm đủ đến mức mà sử dụng một vài kết quả tổng quát cậu có thể chứng minh được vấn đề hình hóa?
Vitali
Câu trả lời của Perelman, gửi ngày hôm sau, rất ngắn gọn: “Đúng vậy. Grisha.”
Sự thực là những gì mà Perelman post lên Internet chỉ là phần đầu của lời giải của anh ấy. Nhưng chỉ thế cũng đã đủ để các nhà toán học nhận ra rằng anh ấy đã nghĩ ra cách giải Giả thuyết Poincaré. Barry Mazur, nhà toán học ở Harvard, đã sử dụng hình ảnh của một chiếc cản ở mũi xe ô tô để miêu tả thành quả của Perelman: “Giả sử ô tô của anh có một cái cản bị móp và anh gọi cho thợ để hỏi xem làm thế nào để nắn cho nó phẳng lại. Tay thợ chắc sẽ khó có thể nói được cho anh là phải làm gì qua điện thoại. Anh chắc sẽ phải mang xe đến xưởng cho anh ta xem. Khi đó thì anh ta có thể nói cho anh biết là cần phải đập vài nhát ở chỗ nào. Những gì mà Hamilton đưa ra và Perelman hoàn tất là một quy trình độc lập với những thứ riêng biệt của các vết móp. Nếu anh áp dụng dòng Ricci lên một không gian 3 chiều thì nó sẽ nắn và làm phẳng không gian này. Tay thợ sẽ chẳng cần phải nhìn thấy cái xe mà chỉ cần áp dụng phương trình.” Perelman đã chứng minh rằng những "điếu xì gà” làm đau đầu Hamilton không thể xảy ra, và anh ấy cũng đã chỉ ra rằng vấn đề “cái cổ” cũng có thể được giải bằng một loạt các phép phẫu thuật toán học tinh vi: cắt bỏ đi những "vùng kỳ dị" rồi nối vá những phần mép xần xùi. “Giờ chúng ta đã có một quy trình để làm phẳng mọi thứ và ở những điểm quan trọng, kiểm soát những "vết nứt vỡ",” Mazur nói.
Tian đã viết thư cho Perelman, đề nghị anh ấy giảng bài viết của mình tại MIT. Các đồng nghiệp ở Princeton và Stony Brook cũng đưa ra những lời mời tương tự. Perelman đã chấp nhận tất cả các lời mời và có một tháng đi giảng bắt đầu từ tháng 4 năm 2003. “Tại sao không?” anh ấy nhún vai bảo chúng tôi. Khi nói về toán nói chung, Fedor Nazarov, một nhà toán học ở đại học Michigan State đã nói, “Sau khi anh giải xong một bài toán, anh cảm thấy một mong muốn to lớn được nói về nó.”

Advertisements

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: